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    Ist dies nicht erfüllt, so spricht man von einem infiniten Regress in der Informatik auch als Endlosschleife bezeichnet. Unter anderem können auch Punktmengen rekursiv definiert werden dies ergibt die sogenannten Fraktale.

    Deren graphische Darstellung liefert ästhetisch ansprechende, natürlich aussehende Gebilde. Ein Beispiel ist der Pythagoras-Baum. Der Algorithmus wird dann bis zu einer vorgegebenen Rekursionstiefe entfaltet.

    Bei Rekursionstiefe eins entsteht ein Dreieck mit je einem Quadrat über den drei Seiten. Das sieht wie die Illustration zum Satz des Pythagoras aus — daher der Name.

    Je höher die Rekursionstiefe, desto mehr ähnelt das Gebilde einem Baum. Die Grammatik natürlicher Sprachen wird in der Linguistik u.

    Dies ergibt sich, weil in der Zerlegung einer grammatischen Einheit, die mit einer Kategorie etikettiert wird, dieselbe Kategorie erneut auftauchen kann.

    Ein Beispiel ist das Phänomen der Nebensätze , das hier mit folgender stark vereinfachter Produktionsregel beschrieben ist:. Für den Fall, dass die Schritte 1 und dann 3 aufgerufen werden, ergibt sich eine Rekursion: Gleichwertig zu dieser Darstellung ist das Verfahren, eine rekursive Definition der Summenfunktion zu geben.

    Hierzu bestimmen wir zunächst den einfachen Fall, den Rekursionsanfang. Dieser einfachere Fall wird unser rekursiver Aufruf. Diese beiden Gleichungen lassen sich zu einer rekursiven Definition der Summenfunktion zusammenfassen:.

    Es handelt sich hierbei um eine lineare Rekursion, denn in jedem der beiden Fälle Rekursionsanfang und Rekursionsschritt gibt es höchstens einen sum-Aufruf.

    Es ist sogar eine primitive Rekursion. Es gibt auch eine Charakterisierung der Summenfunktion ohne Rekursion: Ein anderes klassisches Beispiel für eine rekursive Funktion ist die Fibonacci-Folge.

    Diese rekursive Definition ist kaskadenförmig. Das deutet an, dass es Potential für Optimierungen gibt.

    Auch für die Fibonacci-Funktion gibt es einen gleichwertigen geschlossenen Ausdruck. Rekursionsverfahren und rekursive Definitionen sind nicht auf Funktionen natürlicher Zahlen beschränkt.

    Hier sei auf das verallgemeinerte Rekursionsschema verwiesen. Das Grundprinzip der rekursiven Definition einer Funktion f ist: Bei einer rekursiven Definition einer Funktion f ruft sich die Funktion so oft selbst auf, bis eine durch den Aufruf der Funktion veränderte Variable einen vorgegebenen Zielwert erreicht oder Grenzwert überschritten hat Terminierung, Abbruchbedingung.

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    Da bisher kein solcher Inhibitor isoliert werden konnte, werden auch andere Hypothesen diskutiert, wie die Steuerung dieser Vorgänge in analoger Weise durch Konzentrationsverteilungen von Nährstoffen.

    Der Nutzen für die Pflanze könnte darin bestehen, dass auf diese Weise von oben einfallendes Sonnenlicht bzw. Die Wurzeln von Pflanzen weisen den Goldenen Winkel weniger deutlich auf.

    Bei anderen Pflanzen wiederum treten Blattspiralen mit anderen Stellungswinkeln zutage. In Computersimulationen des Pflanzenwachstums lassen sich diese verschiedenen Verhaltensweisen durch geeignete Wahl der Diffusionskoeffizienten des Inhibitors provozieren.

    Bei vielen nach dem Goldenen Schnitt organisierten Pflanzen bilden sich in diesem Zusammenhang so genannte Fibonacci-Spiralen aus.

    Spiralen dieser Art sind besonders gut zu erkennen, wenn der Blattabstand im Vergleich zum Umfang der Pflanzenachse besonders klein ist.

    Daher sind in beide Richtungen Spiralen zu aufeinander folgenden Fibonaccizahlen zu sehen. Der Drehsinn der beiden Spiralentypen ist dem Zufall überlassen, sodass beide Möglichkeiten gleich häufig auftreten.

    Besonders beeindruckend sind Fibonacci-Spiralen die damit wiederum dem Goldenen Schnitt zugeordnet sind in Blütenständen, wie bei Sonnenblumen.

    Wachstumstechnisch aufeinander folgende Früchte liegen daher räumlich weit auseinander, während direkte Nachbarn wieder einen Abstand entsprechend einer Fibonacci-Zahl haben.

    Das betrifft ebenso Seesterne und andere Tiere mit fünfzähliger Symmetrie. Darüber hinaus wird der Goldene Schnitt auch im Verhältnis der Längen aufeinander folgender Stängelabschnitte mancher Pflanzen vermutet wie bei der Pappel.

    Diese Beispiele sind jedoch umstritten. Jahrhundert war die Ansicht weit verbreitet, dass der Goldene Schnitt ein göttliches Naturgesetz sei und in vielfacher Weise auch in den Proportionen des menschlichen Körpers realisiert wäre.

    Oft enthält auch die Definition, wie die Länge eines Körperteils exakt zu bestimmen sei, eine gewisse Portion Willkür.

    Ferner fehlt dieser These bis heute eine wissenschaftliche Grundlage. Seit langem ist bekannt, dass die Umlaufzeiten mancher Planeten und Monde in Verhältnis kleiner ganzer Zahlen stehen wie Jupiter und Saturn mit 2: Derartige Bahnresonanzen stabilisieren die Bahnen der Himmelskörper langfristig gegen kleinere Störungen.

    Erst wurde entdeckt, dass auch hinreichend irrationale Verhältnisse, wie sie im Fall 1: Arnold und Jürgen Moser stehen.

    Bei rotierenden Schwarzen Löchern findet ab einem kritischen Drehimpuls ein Umschlag von negativer zu positiver Wärmekapazität statt, wobei dieser Tipping-Point von der Masse des Schwarzen Loches abhängt.

    Der Goldene Schnitt tritt auch bei den Quasikristallen der Festkörperphysik in Erscheinung, die von Dan Shechtman und seinen Kollegen entdeckt wurden.

    Diese Quasikristalle bestehen strukturell aus zwei verschiedenen rhomboedrischen Grundbausteinen, mit denen der Raum zwar lückenlos, jedoch ohne globale Periodizität gefüllt werden kann Penrose-Parkettierung.

    Beide Rhomboeder setzten sich aus den gleichen rautenförmigen Seitenflächen zusammen, die jedoch unterschiedlich orientiert sind.

    Die Form dieser Rauten lässt sich nun dadurch definieren, dass ihre Diagonalen im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen.

    Eine solche Gestaltung wird auch weiterhin in Teilen der Fachliteratur zum Buchdruck empfohlen. Die Schriften des griechischen Geschichtsschreibers Herodot zur Cheops-Pyramide werden gelegentlich dahingehend ausgelegt, dass die Höhe der Seitenfläche zur Hälfte der Basiskante im Verhältnis des Goldenen Schnittes stünde.

    Andererseits wird auch die These vertreten, dass das Verhältnis 2: Viele Werke der griechischen Antike werden als Beispiele für die Verwendung des Goldenen Schnittes angesehen wie die Vorderfront des — v.

    Auch in diesen Fällen ist die bewusste Anwendung des Goldenen Schnittes anhand der historischen Quellen nicht nachweisbar.

    Ebenso fehlen historische Belege für eine absichtliche Verwendung des Goldenen Schnittes. Gleichwohl gibt es bei genauer historischer Quellenforschung keinen Beleg dafür.

    Insbesondere gibt es keinen Beleg dafür, dass Hieronymus Lotter als der damalige Baumeister den Goldenen Schnitt bewusst als Konstruktionsprinzip verwendet hat: Alle originären Quellen verweisen lediglich auf einen gotischen Vorgängerbau, auf dessen Grundmauern Lotter das Rathaus errichtet hat.

    Dass der Goldene Schnitt hier eine Rolle gespielt habe, ist quellenhistorisch nicht belegbar. Die erste quellenhistorisch gesicherte Verwendung des Goldenen Schnittes in der Architektur stammt aus dem Er veröffentlichte dieses in seiner Schrift Der Modulor , die zu den bedeutendsten Schriften der Architekturgeschichte und -theorie gezählt wird.

    Bereits wurde ihm für die Anwendung mathematischer Ordnungsprinzipien von der Universität Zürich der Titel doctor honoris causa der mathematischen Wissenschaften verliehen.

    Inwieweit die Verwendung des Goldenen Schnittes in der Kunst zu besonders ästhetischen Ergebnissen führt, ist letztlich eine Frage der jeweils herrschenden Kunstauffassung.

    Für die generelle These, dass diese Proportion als besonders ansprechend und harmonisch empfunden wird, gibt es keine gesicherten Belege.

    Viele Künstler setzten den Goldenen Schnitt bewusst ein, bei vielen Werken wurden Kunsthistoriker erst im Nachhinein fündig.

    Diese Befunde sind jedoch angesichts der Fülle von möglichen Strukturen, wie sie in einem reich strukturierten Gemälde zu finden sind, oft umstritten.

    Auch in der Fotografie wird der Goldene Schnitt zur Bildgestaltung eingesetzt. Als Faustformel wird die Drittel-Regel verwendet.

    In der zeitgenössischen bildenden Kunst wird der Goldene Schnitt nicht nur als Gestaltungsmerkmal verwendet, sondern ist in manchen Arbeiten selbst Thema oder zentraler Bildinhalt.

    Der Künstler Jo Niemeyer verwendet den Goldenen Schnitt als grundlegendes Gestaltungsprinzip in seinen Werken, die der konkreten Kunst zugeordnet werden.

    In der Musik werden Töne als konsonant empfunden, wenn das Verhältnis ihrer Schwingungsfrequenzen ein Bruch aus kleinen ganzen Zahlen ist.

    Dass eine Annäherung dieses Verhältnisses zum Goldenen Schnitt hin nicht unbedingt zu einem wohlklingenden Intervall führt, lässt sich daran erkennen, dass unter den Tonintervallen, deren Schwingungsverhältnis aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen entspricht, höchstens die Quinte mit einem Schwingungsverhältnis von 3: Der Goldene Schnitt wird gelegentlich auch in Strukturkonzepten von Musikstücken vermutet.

    Allerdings sind seine Berechnungen umstritten. Der Goldene Schnitt wird gelegentlich im Musikinstrumentenbau verwendet. Insbesondere beim Geigenbau soll er für besonders klangschöne Instrumente bürgen.

    Mit diesem Werk führte er das indisch-arabische Dezimalzahlensystem in Europa ein. Weitere Untersuchungen zeigten, dass sich die Fibonacci-Reihe auch noch in zahlreichen anderen Wachstumsvorgängen der Pflanzen manifestiert.

    So finden sich diese Zahlen beispielsweise in der Struktur vieler Blüten wieder. Die Ähnlichkeit zum Blattzyklus verwundert nicht.

    Eindrücklich sind diese Zahlenverhältnisse am Beispiel der Sonnenblume zu demonstrieren. Das gesamte Blütenkörbchen besteht aus zahlreichen kleinen echten Blüten.

    Diese sind jedoch nicht chaotisch angeordnet, sondern in deutlich erkennbaren Spiralzügen. Hier wird ersichtlich, dass innerhalb einer Blüte rechtsdrehende und linksdrehende Spiralzüge existieren.

    Die Anzahlen der Spiralzüge sind erstaunlicherweise wiederum nicht beliebig. Bestimmte Zahlen treten immer wieder auf.

    Dabei handelt es sich stets um Glieder aus der Fibonacci-Reihe! Die Fibonacci-Zahlen weisen zudem einige sehr eindrückliche mathematische Besonderheiten auf:.

    Die Reihe folgt demnach einem Additionsgesetz. Jede Zahl hat eine Beziehung zur vorherigen Zahl und zur folgenden Zahl. Ähnlich wie Major eine Beziehung zu Minor und dem Ganzen hat.

    Wachstum in der Natur scheint einem zeitlichen Bezugsgesetz, einem Additionsgesetz , zu folgen! Noch erstaunlicher ist, dass diese Zahlenfolge in einem unmittelbaren Zusammenhang zum goldenen Schnitt steht.

    Die Verbindung ist einfach und eindrücklich: Das Verhältnis zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen nähert sich immer mehr dem Verhältnis des goldenen Schnittes, der Zahl Phi, an.

    Je mehr Spiralzüge beispielsweise der Blütenkorb einer Sonnenblume aufweist, um so mehr nähert sich das Verhältnis der einbezogenen Fibonacci-Zahlen dem goldenen Schnitt an.

    Mathematisch ausgedrückt, entspricht der Grenzwert Limes zweier aufeinander folgender Zahlen der Fibonacci-Folge exakt dem Verhältnis des goldenen Schnittes , der Zahl Phi!

    Sie tun es abwechselnd von oben und von unten Abb. Dadurch werden zwei voneinander unterschiedene Reihen beschrieben. Die eine Reihe nähert sich von oben dem Wert Phi an, die andere von unten.

    Sie bilden eine polare Gegenläufigkeit, die auf eine gemeinsame Einheit zulaufen , deren Repräsentant die Zahl Phi ist.

    Die Fibonacci-Reihe folgt damit inhaltlich wiederum dem Prinzip der Symmetrie. Alles in allem gilt heute die Fibonacci-Reihe als ein anerkanntes Wachstums- und Entwicklungsmuster in der Pflanzenwelt.

    Auch der Zusammenhang zu den Proportionen des goldenen Schnittes ist unbestritten. Es fällt nun schwer, aus diesen Zusammenhängen nicht die Schlussfolgerung zu ziehen, dass es sich hier um eine der Urformen natürlicher Prozesse handelt.

    Der in den USA lebende ungarische Architekt und Botaniker Györgi Doczi, der sehr ausführlich und eindrucksvoll den goldenen Schnitt als universelles Ganzheitsmuster in der Natur belegt hat, schreibt angesichts dieser Erkenntnisse G.

    Das Beispiel der Fibonacci-Reihe zeigt, dass der goldene Schnitt nicht nur das Produkt menschlichen Schönheitsempfindens ist, sondern als objektives Entwicklungsmuster in der Natur vorkommt.

    An dieser Stelle wird Goethe schon verständlicher mit seiner Behauptung, dass Schönheit eine Manifestation von Naturgesetzen ist.

    Biologen vermuten, dass die Fibonacci-Reihe und der goldene Schnitt vor allem deswegen optimale Entwicklungs- und Konstruktionsprinzipien sind, da sie Ausdruck einer maximalen Vereinfachung numerischer Beziehungen sind Radiuk Der goldene Schnitt als einfachste Urform jeglicher Gestaltung?

    Eine mathematische Analyse verdeutlicht dies. Erwähnenswert sind vor allem zwei mathematische Besonderheiten im Zusammenhang mit der Zahl Phi:.

    Nun scheint es, als wären alle irrationalen Zahlen gleich irrational, aber einige irrationalen Zahlen sind irrationaler als andere.

    Phi ist die irrationalste aller irrationalen Zahlen! Das wirkt erst einmal erstaunlich, denn es besagt nichts anderes, als dass wir gerade das Irrationalste als besonders harmonisch empfinden.

    Das von uns als wohlproportioniert Empfundene ist nicht nur das Gegenteil des Rationalen, es hat sogar eine maximale Entfernung zu ihm.

    Wir erfahren hier gerade das Gegenteil dessen, was uns die formale Logik glauben macht. Das Irrationale, nicht vollständig Erfassbare findet sich nicht etwa im Ungeordneten, Unangenehmen, wie man meinen würde, sondern ist darüber hinaus auch noch Ausdruck des Schönen und Wohlproportionierten.

    Wieder treffen bei der Betrachtung des goldenen Schnittes scheinbar widersprüchliche Qualitäten aufeinander. Einmal mehr wird deutlich, dass dieses Zahlenverhältnis bei der Vereinbarung von Gegensätzen eine besondere Rolle zu spielen scheint.

    Die rein mathematische Betrachtung der Zahl Phi macht ihre Sonderstellung innerhalb der Zahlen offensichtlich.

    Abbildung 17 zeigt die klassische und gleichzeitig bekannteste Formel zur Ermittlung der Proportionen des goldenen Schnittes.

    Neben der erwähnten gibt es noch eine weitere Formel zur Berechnung der Zahl Phi, die bis heute, selbst in mathematischen Kreisen, noch meist unbekannt ist.

    Das gilt wohlgemerkt für jede Art von Bruch! Bei Kettenbrüchen handelt es sich um Simplifizierungen des ursprünglichen Verhältnisses durch eine Aufschlüsselung in mehrere einfache Brüche.

    Abbildung 18 zeigt ein solches Beispiel. Zähler jedes einzelnen Bruches ist die Zahl Eins. Auch dies gilt für alle denkbaren Brüche und Verhältnisse!

    In Bezug zur Zahl Eins ist demnach jedes rationale Verhältnis darstellbar. Neben allen normalen Zahlen und Bruchzahlen ist auch jede irrationale Zahl durch einen Kettenbruch darstellbar.

    Der einzige Unterschied besteht darin, dass Kettenbrüche irrationaler Zahlen unendlich lange Wiederholungen eines gleichen Grundelements sind.

    Abbildung 19 verdeutlicht dies anhand der irrationalen Zahl Ö 2. Der Kettenbruch ist demnach ein mathematisches Verfahren, mit welchem jede Zahl und jedes Zahlenverhältnis ausgedrückt werden kann.

    Auch die irrationale Zahl Phi ist in Form eines Kettenbruches darstellbar. Die Zahl des goldenen Schnittes zeigt damit innerhalb der Kettenbruchdarstellungen eine einzigartige Stellung: Der Kettenbruch zur Berechnung der Zahl Phi besteht als einziger unter allen denkbaren aus nur einer Zahl!

    Damit aber nicht genug. Der goldene Schnitt errechnet sich darüber hinaus aus der Zahl Eins. Es kann also auf die Besonderheit hingewiesen werden, dass die irrationalste Zahl sich durch den einfachsten Kettenbruch errechnet!

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